Barisan dan Deret Matematika
Barisan aritmatika yaitu barisan bilangan dengan pola yang tetap menurut operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara ke dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika dikenal dengan sebutan beda, dan dilambangkan dengan ” b “. Adapun rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmatika yaitu;
b: Un-Un-1
Keterangan;
b : beda,
Un : buku ke-n,
Un-1 : suku sebelum suku ke-n, dan
n : banyaknya suku
1). Bentuk Barisan Aritmatika
Berikut ini merupakan bentuk dari barisan aritmatika;
U1, U2, U3, U4....., Un
Adapun rumus selisih atau beda yaitu;
Un+1 - Un =b
Keterangan;
Un+1 : suku ke-n + 1,
Un : suku ke-n, dan
b : beda atau selisih
Dari rumus suku ke-n tersebut, maka dapat diperoleh;
U1, U2, U3, …. , Un-2 , Un-1, Un
Apabila banyaknya suku (n) ganjil, kita dapat menentukan suku tengah (UT) barisan aritmatika dengan rumus;
Ut=1/2(a+Un), dengan t= 1/2(n+1)
Namun, apabila di antara 2 buah suku U1, U2, U3, …. , Un disisipkan k buah bilangan baru, sehingga membentuk barisan geometri yang baru, beda dan banyaknya suku barisan tersebut perubahannya dapat diketahui melalui rumus berikut:
b=b/k+1
n'=n+(n-1)
Keterangan;
b’ : Beda barisan aritmatika baru,
b : beda barisan aritmatika lama,
k : banyaknya bilangan yang disisipkan,
n’ : banyaknya suku barisan aritmatika baru, dan
n : banyaknya suku barisan aritmatika lama.
Yang perlu diingat yakni suku pertama barisan yang baru adalah sama dengan suku pertama barisan yang lama.
Untuk untuk mencari suku ke-n dengan mudah kita dapat menggunakan rumus berikut ini;
Un=a+(n-1) b
Keterangan;
a : suku awal (U1),
Un : suku ke-n, dan
b : beda atau selisih.
Untuk lebih memahaminya simaklah contoh soal berikut ini:
Tentukanlah suku ke-20 dari barissan 18, 22, 26, 20…
Pembahasan;
Diketahui
a = 18
b = 4
Ditanya U20 = ….?
Pembahasan;
U20 = a + (n – 1)b
U20 = 18 + (20 -1)4
U20 = 18 + (19 x 4)
U20 = 94
Quipper Blog - Blog Pendidikan – Referensi untuk Siswa & Guru
Banner Top
Mapel Matematika
Barisan dan Deret Rumus serta Contoh Soal – Matematika Kelas 11
sereliciouzDesember 19, 2019
Ditinjau oleh Pamela Natasa, S.Pd.
Barisan dan Deret - Matematika Kelas 11
Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat, ya!
Pada pertemuan kali ini, Quipper Blog akan membahas tentang baris dan deret. Konsep baris dan deret ini biasa kamu jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saat kamu berinvestasi sebesar Rp10.000.000. Pada bulan pertama kamu investasi, keuntungan yang diperoleh adalah Rp2.000. Pada bulan kedua, keuntungannya menjadi Rp4.000 dan bulan ketiga menjadi Rp8.000.
Kira-kira berapa keuntungan yang kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi? Total keuntungan yang akan kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi bisa langsung kamu tentukan dengan konsep baris dan deret ini, lho. Ingin tahu pembahasan selanjutnya tentang baris dan deret? Simak ulasan berikut.
Secara umum, barisan dan deret dibagi menjadi dua, yaitu barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri. Apakah perbedaan keduanya?
Daftar Isi Sembunyikan
Barisan Aritmetika
1. Bentuk barisan aritmetika
2. Suku ke-n barisan aritmetika
Contoh soal 1
3. Suku tengah barisan aritmetika
Contoh soal 2
4. Sisipan bilangan pada barisan aritmetika
Deret Aritmetika
Contoh soal 3
Barisan Geometri
1. Bentuk barisan geometri
2. Suku ke-n barisan geometri
Contoh soal 4
3. Suku tengah barisan geometri
4. Sisipan pada barisan geometri
Deret Geometri
Contoh soal 5
Contoh soal 6
Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut.
Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika
Keterangan:
b = beda;
Un= suku ke-n;
Un+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.
1. Bentuk barisan aritmetika
Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.
Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.
Keterangan:
Un+1 = suku ke-(n +1);
Un = suku ke-n; dan
b = beda atau selisih.
Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:
U1, U2, U3, …, Un-2, Un-1, Un
a, a+b, a+2b, …, a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b
Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan
sebagai berikut.
banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika
Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.
beda dan banyak suku dari barisan
Keterangan:
b’= beda barisan aritmetika baru;
b= beda barisan aritmetika lama;
k= banyak bilangan yang disisipkan;
n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan
n= banyak suku barisan aritmetika lama.
Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.
Deret Aritmatika
Setelah memahami barisan aritmatika, barulah dilanjutkan dengan materi deret aritmatika (Sn). Deret aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku-suku yang ada di barisan aritmatika.
Deret aritmatika juga bisa diartikan sebagai barisan yang nilai seluruh sukunya diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan suku sebelumnya dengan suatu bilangan. Artinya, jika diketahui barisan aritmatika adalah U1,U2,U3, maka deret aritmatikanya yaitu U1 + U2 + U3.
Contohnya, jika disuruh mencari deret aritmatika jumlah 5 suku pertama dalam barisan 4,8,12,16,20, maka jumlah suku pertamanya yaitu 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60.
Kita juga bisa mencari deret aritmatika pada ratusan suku pertama suatu barisan dengan mengandalkan rumus sebagai berikut:
Sn = 1/2n(a+Un)
Dalam barisan aritmatika, rumus deret aritmatika:
Sn = 1/2n(2a+(n-1)b)
Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama deret aritmatika
Un = suku ke-n deret aritmatika
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku
Contoh Soal Deret Aritmatika
Dikutip dari beberapa laman terkait, berikut beberapa contoh soal deret aritmatika:
1. Suatu deret aritmatika 5,15,25,35...
Berapakan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika di atas?
Jawaban:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2.5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500
2. Berapakan jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 +...
Jawaban:
Pertama-tama, hitunglah pembeda (b) dengan cara mengurangi suku setelah dengan suku sebelumnya:
b = Un - Un-1
b = U2 - U1
b = 7-3 = 4
Selanjutnya, substitusi b = 4 untuk mencari S20:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
= 20/2 (2x3 + (20-1)4)
= 10 (6 + 19 x 4)
Sn = 10 (6 + 76)
Sn = 10 (82) = 820
Dengan demikian, jumlah suku pertama adalah 820.
Barisan geometri apabila perbandingkan dua suku yang berurutan selalu sama. Hasil perbandingan dua suku yang berurutan dalam barisan geometri disebut rasio (r).
Suku pertama dalam barisan geometri disebut a dan rasionya diberi simbol r. Maka dari itu, barisan geometri umumnya berupa a, ar, ar2, ar3, … arn. Pada barisan tersebut kemudian diperoleh:
Suku ke-1 = U1 = a
Suku ke-2 = U2 = ar
Suku ke-3 = U3 = ar2 = ar3-1
Suku ke-4 = U4 = ar3 = ar4-1
Dari penjelasan tersebut, maka bisa diketahui bahwa rumus barisan geometri, seperti berikut:
Un = arn-1
Keterangan:
a = U1 = suku pertama dalam barisan aritmatika.
r = rasio
n = jumlah suku
Un = jumlah suku ke n
Rumus Deret Geometri
Setelah mengetahui konsep dan rumus barisan geometri, kini tiba saatnya kita untuk mempelajari konsep deret geometri. Perlu diketahui bahwa deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Pada buku Kumpulan Rumus Matematika Lengkap Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama, disebutkan bahwa untuk bisa mengetahui jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret geometri, maka rumus deret geometri yang bisa digunakan sebagai berikut:
Sn=a(rn-1) /r-1 untuk r>1
Sn=a(1n-r) /1-r untuk r<1
Keterangan:
a = U1 = suku pertama dalam barisan aritmatika.
R = rasio
n = jumlah suku
Sn = jumlah n suku pertama
Sementara itu, hubungan antara Un dan Sn yaitu Un = Sn – Sn-1
Contoh soal
Komentar
Posting Komentar